教育数学的行动：寻找初中数学课程的焦点
朱华伟 徐章韬
摘要：改造初中数学课程、减轻学生学习负担，是一个现实教育问题。教育数学先从技术上攻克课程改造的难题，再从个案到小范围实验到规模实践，稳妥地推进课程改革。直面教育难题，采用全新的技术路线改造学科， “自下而上，由点到面，规模实践，行动反思”；根据数学教育的目标，以优化学生的数学认知结构为旨归，对学术形态的数学进行概念重构与体系重建，形成结构简明、内聚力强的特色数学教材，直指数学教育改革的关键与核心是教育数学在课程改革方面的理论成果。
关键词：教育数学；课程改革；数学教育
中图分类号：ｇ６３３．６ 文献标志码：ａ 文章编号：１０００－０１８６（２０１６）０９－００５８－０５
一 、学科教材编制中面对的教育难题
教材承载的是人类文明的精华，如何寻找课程焦点，合理编制教材，推动课程改革的顺利进行，是一个非常重大的问题。课程以其逻辑性、系统性和简约性特质，在传承学科的旨趣精神、思想方法、知识技能等方面发挥了巨大的作用。教材是实现课程标准理念的载体，是实施教学的重要资源，在课程实施中具有重要作用。然而在教材的具体编制方面，常常出现这样或那样的问题，引发各种教育问题。马立平基于美国小学教学的实践，批评美国小学数学课程在内容结构上有缺陷，学科结构瓦解，定义体系涣散。她认为，数学概念体系、内在结构与基本原理的掌握，直接关乎小学生数学学习的成败得失。抓准能辐射全局的核心概念，找到贯穿课程主线的核心思想，不仅是一个技术问题，还对课堂教学改革的顺利推进、学生的学习成效有巨大影响。在我国，“以方程为纲，以元为序”揭示了初中数学代数知识的重建过程，及其跨时空的教育教学意义。代数和几何是初中数学的两大板块，几何课程历来难学，也需要重新建构。国家数学课程标准修订组组长史宁中教授在《〈义务教育数学课程标准（２０１１年版）〉解 读》中明确指出：“一个重要问题就是几何的改造。现在平面几何的教学内容比较多，这样设计的一个重要理由是培养学生的演绎推理思维。去掉平面几何如何教学生演绎思维是一个难点。平面几何怎样改造？有没有可以替代平面几何培养学生演绎思维的东西？……这些问题需要我们进行长期的研究。”教育数学在这方面作出了有影响的工作。
课程传承的是人类思想的精华，应该不断地简化和统一。以初中学段来说，这种必要性显得很清楚。初中学段对学生成长具有重要意义。在身体上，他们迅速发育，需要有充分的休息和运动时间，课程负担不能过重；在思维上，正由形象思维向 逻辑推理过渡，正在逐步学会形式运算，课程承载的使命很重；在观念上，正在初步形成人生观、世界观和各种学科观念，课程的教育意义显得尤为突出。教材的编写应充分考虑这些基本因素。以数学课程的学习为例，从教学时间上看，每个学期大约四个月的学习时间，扣除每周的双休时间及法定节假日，一个学期的学习时间不足百天，而每个学期的教学任务最少是４章，最多是６章。也就是说，每月的学习内容都是全新的，复习巩固、反思调整的时间明显不足。学生的学习任务重，课程内容庞杂也是其中的重要因素之一。教科书采用混排方式，时而代数，时而几何。代数课程内容在教材中时断时续地出现，从字母表示数、因式分解，到具体地解在次数、元和结构上发生变化的各种方程，再到以方程为认知的固着点，引入不等式和函数的知识。根据已有的研究结果，若以方程作为初中数学的核心概念，并作为贯穿课程的主线，那么代数课程的难点消解了。几何课程内容按照简化了的欧几里得模式展开，从初一学到初三，让学生学会演绎证明依然是课程的重要目标之一，这也是学生学习的一个难点。初中数学两大板块知识任务重，展开的逻辑不同，需要关注它们之间的关联，用简单而基本的概念解释它们，使之变得容易些。学代数，没有直观引路，有时难免隐入琐碎的细节；学几何，常感毫无头绪，一题一法，有时难免产生畏难情绪。初中学段是学生发生分化最严重的时期，很多学生就是从初中开始掉队的，故而国际上一些数学教育研究总以初中学生为研究对象。学时有限，内容有难度，如何“把数学变得容易些，让学生学得轻松些”是一个现实的教育难题，也是教育数学的重要关注点。
这项工作首先聚焦现实教育难题，其次从技术上克服课程编制的难题，再次进行规模实践，最后是反思与总结，为课程的重新编制及基础教育课程改革提供决策参考。挖掘与继承我国数学教育改革的成本经验与特色，为当下数学教育教学及改革提供借鉴与启示，是本研究的主要目标。
二、教育数学的行动
教育数学在解决课程教材编制的难题时，遵循了如下的可以复制操作的技术路线。
（一）攻克技术难点，寻找课程焦点
教育数学以减轻学生负担为旨归。在技术手段上，以面积为基本核心概念，以面积法为手段，不引进新知识，而是将现有知识进行统整。通过重建三角，把代数、几何、三角熔铸为一体，使三角、几何和代数紧密联系，彼此渗透，交互影响，共同向前。教育数学的发展已有三四十个年头，攻克了很多技术难题。
对课程内容的科学实质进行深度挖掘，用面积统领几何内容。面积是一个基本概念，是一种测度，不需过多地定义，具有观点高而起点低的特点。在平面几何中，点的地位相当于代数中的元，以消点为目标，以面积为手段，可以“手工”地进行几何定理的机械证明。其中，共边定理和共角定理是两个重要的基本定理。用这两个定理把线段比化为 面积比，把面积比化 为线段比，在两种几何量的反复转化中解决问题。面积还可以写成二阶行列式的形式，而面积之比也就是两个行列式之比，面积消点法的实质是直观地解二元一次方程组，从而达到消元的目的，进而达到消点的目的。这样，初中代数内容可以用方程统领起来，初中几内容可以用面积统领起来。其实是说它们都可以用方程统领起来。面积与方程可以互为表里，如，可以用面积法表示无理数、乘法公式及因式分解，可以用面积法揭示一元二次方程解决的实质，等等。
把对课程内容的深度科学认识转化为教育上的见解和实践。重建三角，全局皆活。面积法实现了几何定理的可读性机器证明，在数学及计算机科学发展史上具有重要意义。科学研究上的成果是否可以走进教育，以减轻学生的负担，则成了一个教育问题。经过十多年探索，这个问题首先在课程重构的技术上取得了突破。在中学数学课程中，三角内容至关重要。三角是联系几何与代数的一座桥梁，是沟通初等数学和高等数学的一条通道。函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识。如果三角下放成功，对几何和代数的学习必有好处。问题的症结在于如何重建三角。面积法不应当仅仅作为解题的“屠龙宝刀”，还应该作为迅速展开初等数学体系的一条主线。在这条主线中有个核心，那就是含正弦的三角形面积公式。此公式是联系角度、线段、面积这个几何三大基本元素的唯一公式，也是学生遇到的，把几何 （图形）、代数 （运算）、分析（函数）联系起来的第一个公式。由此公式可以引进第一个“算”不出来的函数———正弦，即用单位菱形的面积来定义正弦。正弦相当于单位正方形面积的“折扣”，具有鲜明的几何意义。其他三角函数可以由正弦导出。把注意力放在正弦上，重点突破是一个重要策略。由面积法可以导出正弦定理，共边定理与共角定理可以看作正弦定理的几何表现形式，而余弦定理在逻辑上和正弦定理等价。因此，问题的突破口在于重新定义正弦，从而使得正弦定理的推导、和角公式的推导，以及正弦增减性的探究都成为直观简易的计算型推理。传统的教学难点无形中消失了，几何知识宝库门户洞开。不论是用几何引出三角，还是用三角推导几何，都要用到字母运算，用到代数。三角、几何和代数的联系更加紧密，课程简化且具有可行性。
重建三角，使得计算、推理和作图等数学活动融为一体，学生能从中获得诸多数学基本活动经验。重建三角，不仅是技术问题，还具有教育教学意义。根据已有的研究，初中与高中的三角函数在意义上具有本质上的不同。高中的三角函数是“量天测地的学问”，是用来描述周期运动的；初中的三角函数是依托直角三角形而定义的，用来解三角形。高中三角函数不应看作初中三角函数的形式推广。不用比值法定义三角函数，而采取单位圆上点的坐标重新定义三角函数，正是这种观点的反映。仔细研读教材就会发现，锐角三角函数在初中教材体系中非常 “孤单”，不仅出现得晚，与其他内容的联系也很薄弱。说它是函数，与一次函数、反比例函数又具有显著的不同，是角与两变量的比值之间的一种对应；说它是工具，代数、几何等课程已经学完，用武之地不算太大。课程间的割裂实是课程编制的大忌。重建三角，使得代数、几何、三角融为一个整体，使得课程的内聚力得到增强。在中学里定义三角函数，无非是给三角函数提供一个几何模型。重建三角不仅给三角选择了一个更简单的便于推理论证的几何模型，还把传统的三角函数模型学包含在里面了 （在直角三角形中应用面积公式，也能导出三角函数的比值定义法），也尊重了教师的原有知识结构。这样，通过内容分析法，课程体系重构成为现实。初中数学教材体系有两大核心概念：方程和面积。“以方程为序，以元为纲”使得初中代数课程体系次序井然，条理分明；“以面积为基础，以含正弦的三角形面积公式为核心”重构了初中几何课程，欧氏几何的魅力依然得到保留，课程间的联系得到强化。
朱华伟、张东方等人以人教版初中数学教材为依托，选准适当的切入点，将《一线串通的初等数学》中的主要内容整合到了现行教材之中，形成了一种创新知识体系，并进行了实验。
（二）组织教学实践，检验课程改革成效
教育数学先从数学体系上阐明了课程体系重构的内在理据，获得了一线教师的认同，由点到面地展开了教学实验。
先进行“小”“微”教学实验，检验概念的教育价值。尝试性的课堂教学实践表明，用面积定义正弦具有可行性。概念对于数学科学及数学教育都有着不言而喻的重要性。教育数学在攻克初中数学重组的难题时，其关键之处在于重新定义了正弦。新定义的正弦概念的合理性在科学性上已经得到了证明，其教育性如何，还要进行检验。故而，崔雪芳首先在初一年级的两个普通班进行了角的正弦的教学实验课。实验结果表明，“用直观的‘面积’‘折扣’引入较为抽象的正弦概念，能降低教学台阶，学生掌握新概念比较顺利”。从教育、心理的研究方法看，仅仅是一个课时的实验还不能说明问题。因此，崔雪芳及其合作者又用两年时间在生源不同的四所初中做了六个课时更深入的教学实验。实验表明，在初中一年级用菱形面积引入正弦是可行的，有利于促进学生数形结合的数学思维。新正弦定义的教育性不因研究对象的变化而变化。王文俊在一所省重点高中的一、二年级学生中进行了用面积定义正弦的教学尝试，发现大部分学生和教师比较欣赏和认可三角函数新定义体系，认为新定义体系可以让学生更容易地掌握三角部分内容。
再进行小规模的三年一贯制教学实验，探索性检验三角重构的教育价值，以项目为依托进行实验。２０１２年６ 月，广州市青少年科技中心 通过了 “千师万苗工程”，依据自觉自愿的原则确定实验教师，并在广州市海珠外国语实验中学设立了 “院士数学教育创新实验班”。实验班的生源主要是数学相对薄弱但语文、英语等成绩尚可的学生。入学时数学平均分为实验一班 （６班）６２．５分和实验二班 （５班）６４分，几乎列海珠区的末尾。实验班以《一线串通的初等数学》书中主要内容作为调整的依据，结合人教版初中数学教材中的知识脉络，适时地穿插整合，形成一种创新的知识体系结构。根据以上调整方案，在４个学期中，用９２节课基本上讲完 《一线串通的初等数学》书中内容，再用２１８节课完成课程标准要求的其余教学任务。总共用了３１０课时，剩下４８个课时用于中考复习。在实践周期三年内，两个实验班从刚开始的在海珠区排名末尾，到之后每个学期末都排名在海珠区前列，学生成绩显著提高。数学成绩的提升带来了全学科的提升。２０１５ 年 中 考 实 验 一 班 平 均 分 ７３３．９６，实验二班平均分 ７３０．２５。两个实验班为期三年的实验教学表明，学生提前接触了正弦、正弦定理等知识，更早更多地运用方程和函数的思想，有利于今后学习，有助于提升用数学知识及方法解决问题的能力。对教师来说，融入“知识的一线串通”思想，使教学更有生气，更多变化，更能够充分调动学生的积极性。
启动大规模教学实验，凝聚实践工作者与理论工作者的智慧，检验教育数学的教育价值。试点实验的结果令人满意。为了推广经验，把教学实验升华为教育实验研究，从２０１４年起，广州市教育研究院成立广东省教育科学“十二五”规划课题重点项目组，组织部分学校深入研读《一线串通的初等数学》，启动更大规模的教育实验研究 《教育数学创新实验———以初中数学为例》。目前，广州市５个区共１５所中学进行了教学实践，实践过程和结果表现较为良好。广东省其他地区，以及成都、重庆、上海、北京等地，也有学校在不同程度上进行类似的教学改革实验。课题组理论工作者不但深入到课堂中进行了实地研究，和教师一起解决课堂教学中的技术性问题，还编印了内部课题研究简讯，及时通报课题进展情况，选编理论性指导文章对教师进行指导，提升已有的研究成果。
三、寻找可以复制的本土教育经验
课程改革及教学改革难度很大，不容易成功，教育数学对初中数学课程及教学的改革汲取了前人的经验，有着科学的技术路线，沿着“改造数学—师资培养—有序推进”的路径渐次展开。
教育教学对课程及教学改革的技术路线不同于以往的改革。从根本上讲，学科教育涉及两个因子：学科＋教育。以往的课程改革，不免顾此失彼。史上轰轰烈烈的 “新数学”运动，在启动之初就注定了它的失败。道理很简单，由数学家主导的课程改革在潜意识里认为中小学课程应当是科学数学课程的浓缩版或精简版，忽略了或根本没有考虑儿童的认知，没有考虑课程内容对儿童心理的适切性。儿童眼中的数学截然不同于数学家眼中的数学，儿童也不会按数学家设定的方向前行，因为儿童的生命是多姿多彩的。新数学课程改革失败的影响是深远的，后来的课程改革几乎或很少从学科上着眼，多从教学法入手。２１世纪初启动的义务阶段课程改革运动，遭到了很多数学家、一线教师的强烈反对，其中的原因有很多，但可以肯定的是，仅仅关注教育理念的更新，而忽视学科本身的特点，注定行之不远。教育数学从萌芽到初具体系，再到规模实践，经过了时间积淀。教育数学从数学着眼，目标指向教育。教育数学从改造数学本身入手，不粗暴式地简化、割裂数学科学课程，首先在数学科学上取得巨大成功，然后再用于教育上。这条技术路线远高于“新数学”课程改革的技术路线。教育数学有着鲜明的教育理念：从学生头脑找概念 （这比关注学生的活动经验等教育理念更具体）、从概念里产生方法 （这比知识技能化更具体）、方法要形成模式 （这比构建知识体系更具体），这些理念不同于口号式、未经本土实践检验的西方教育理念，操作性更强。教育数学的这些教育理念是在吃透了数学精神本质，又经过实践检验之后产生的。这与 ｍｋｔ（面向教学的数学知识）的观点不谋而合。这与附加式地引进教育理念到学科教育的技术路线也截然不同。教育数学的基本点是把数学本身变容易，然后内生出一系列教育理念，指导数学教育改革。
课程改革的推进需要教师的认同，教师教育显得尤为重要。教育数学非常注重对教师的培训，先后出版了《平面三角解题新思路》《新概念几何》《从数学教育到教育数学》《一线串通的初等数学》《几何新方法和新体系》以及大量的普及性期刊论文。前面提到，教育数学尊重教师已有的知识结构，同时教给教师一些看问题的新观点，做数学的经验和方法。教育数学的思想和方法，已为许多教师所熟知，不少教师认同教育数学的理念，并做了大量的研究。如，美国ｏｔｔｅｒｂｅｉｎ大学童增祥教授举办教育数学研究生班进行教学实践，并发表论文阐述教育数学的观点，认为美国数学教育也需要引入教育数学。成都市学科带头人赖虎强对教育数学进行了深入的研究并付诸实践，出版了专著《妙用正弦学数学》《妙用面积学数学》，使教育数学有了自己的校本教材。初中数学课程中重建三角的教学实践活动，几乎都是这些数学教师们自发的行动。这表明，“自下而上”地进行师资培训，适时再进一步组织教学实验，从教师自发的行动发展为教育行政主导的改革可能是课程改革一条好的路径。
教育数学倡导的课程改革有方法论上的意义。直面教育难题，采用全新的技术路线改造学科，“自下而上，由点到面，规模实践，行动反思”是教育数学创新数学实验在课程改革方法论上的启示。根据数学教育的目标，以优化学生的数学认知结构为旨归，对学术形态的数学进行概念重构与体系重建，形成结构简明、内聚力强的特色数学教材，直指数学教育改革的关键与核心，是教育数学在教材编制方面的启发。